イントロダクション

ここでは，平面充填についての基本的な知識を紹介します．たくさんのWebサイトや書籍で紹介されているものですが，1箇所にまとまっている，簡単な，数式を使わないものはほとんどないようなので，まとめてみました．

参考Webサイト：

平面充填（Wikipedia日本語版）

Tessellation（Wikipedia 英語版）

List of Euclidean uniform tilings

分類のしかた

学者によってさまざまな分類方法があり，かなりの部分は重複しています．統一された見解というものはないようです．ここでは，大ざっぱに，「正多角形とそれ以外」「周期性と非周期性」という分類をしています．

• 正多角形に関する分類
  • 大きさの同じ1種類の正多角形で構成（3種類＝ピュタゴラスの充填形）
    • 正三角形
    • 正方形
    • 正六角形
  • 大きさの同じ1種類の多角形で構成
    • 任意の三角形
    • 平行四辺形
    • 平行六辺形（3組の対辺が平行で等しい六角形）
    • 五角形（15種類あり，これ以上ないことが示されている）
  • 複数種類の正多角形で構成（8種類＝アルキメデスの平面充填）
    • [3, 3, 3, 3, 6]
    • [3, 3, 3, 4, 4]
    • [3, 3, 4, 3, 4]
    • [3, 4, 6, 4]
    • [3, 6, 3, 6]
    • [3, 12, 12]
    • [4, 6, 12]
    • [4, 8, 8]

• 正多角形と、正多角形ではない+αの図形で構成
• 正多角形を使わない，特殊な充填形
• 周期性を持つか？
  • 周期性
  • 非周期性

正多角形とそれを使ったバリエーション

サブグリッドともよばれる，正多角形と、そのバリエーションの代表的な24種類を紹介します．これらは，正多角形を使った平面充填のほんの一部にすぎません．

充填できる＝角同士がぴったり合う＝足して360°になる，という視点から眺めてみましょう．

作例

＝アルキメデスの充填形、[3,6,3,6]

＝アルキメデスの充填形、[3,12,12]

＝アルキメデスの充填形、[3,4,6,4]

＝アルキメデスの充填形、[4,6,12]

＝アルキメデスの充填形、[4,8,8]