①ステップ送り

最も簡単なのは，四角形を並べてパターンを作る方法

・四角形に絵を描く

このときのコツは，移動したときに絵柄同士がぶつからないようにすること．

四角形の四辺に接していない部分は，後から書き足してもいい．

②ハーフステップ送り

ステップ送りは簡単だが，単調で，絵柄の境界線が見抜かれやすい，という特徴をもつ．

そこでよく使われるのが，ハーフステップ送り．

ステップ送りよりも絵柄の境界線が目立ちにくい．

同じ距離で水平に並ぶ数が半分になる．

2021年2月6日2021年2月6日

タイリング

四角形を並べることができたら，四角形を少し変形しても並べることができることに気付くでしょう．

四角形の一辺を変形．

変形した辺を対辺に移動して，変形した四角形を作る．

これを移動しながら複製．複製した辺同士なので，必ずぴったりはまることがわかります．

同じように，もう縦方向の辺も変形して複製してみると，

ぴったりはまるタイルが繰り返せます．

上の例において，辺の移動のさせ方は，天地：平行移動，左右：平行移動ですが，以下に示すような，その他のやり方でもタイルを作ることができます．

何かに「見立て」をすることで，同じ図形でも全くちがったものに見えることもあります．

M. C. エッシャーによるタイリングは，およそこのような技法によるものです．

また，後年，イソヘドラル・タイリングという名前で93種類が分類されています．

https://www.jaapsch.net/tilings/mclean/html/triangle_templates.html

2021年2月6日2021年2月6日

p1

並進のみ．

pm

並進して鏡映．

pg

並進してすべり鏡映．

cm

鏡映して移動するのはpmと同じだが，移動のしかたが異なる．

p2

180°回転して並進．

pmm

鏡映したものをさらに鏡映．

cmm

pmmと同じく鏡映したものを鏡映するが，鏡映軸が異なる．ひし形をイメージするとわかりやすい．

pgg

すべり鏡映してからすべり鏡映．

pmg

鏡映して，すべり鏡映．

p4

4回割り（90°回転）して移動．

p4m

90°回転して鏡映．

p4g

90°回転してすべり鏡映．

p3

3回割り（120°回転）して移動．

p31m

鏡映して120°回転．

p3m1

鏡映して120°回転．（p31mとほとんど同じ．p31mは鏡映軸が回転の中心を通るが，p3m1は回転の中心を通らない鏡映軸がある）

p6

6回割り（60°回転）して移動

p6m

鏡映して60°回転．

2021年2月6日2021年2月6日

同じ図形での周期的パターン

同じ図形で平面充填されているが、配置される位置は繰り返しではない。

五角形による非周期パターン

平面充填可能な五角形は15種類あり，これ以上は存在しないとされている．（ここでは１つだけ紹介）

同じ図形ではない非周期的パターン

ペンローズ・タイル

2020年のノーベル物理学賞受賞者，ロジャー・ペンローズ（イギリスの数理物理学者、数学者）が作った，有名な非周期的パターン．

「凧」とよばれるパーツと「矢」とよばれるパーツで構成される．

ペンローズ・タイルにはいくつか種類があるが、ここに紹介するのは「無限の星」とよばれるもの。非周期性のまま，無限に平面充填できる．

2021年2月6日2021年2月6日

正多角形ではない，1種類または2種類の図形による周期的パターン

正多角形を（ほとんど）使わないパターンの紹介

2021年2月6日2021年2月6日

17種類のウォールペーパーパターン（１）概説

周期性のある平面充填のパターンは17種類あり、これ以上存在しないことが証明されている。

https://ja.wikipedia.org/wiki/文様群

4つの基本移動と17の法則の表記法

並進
鏡映
回転
すべり鏡映

この4つの組み合わせで17種類のバリエーションが生まれる。

それぞれの名称と特徴

pはprimitive（単純格子）、mはmirror（鏡映）、gはglide（すべり鏡映）、cはface centerd（面心格子あるいは有心格子）、数字はn回割り（360°を何回割ったか）を表す。

（A）回転を含まない。

p1	鏡映、すべり鏡映を含まない。
pm	鏡映を含む。すべり鏡映軸は必ず鏡映軸でもある。
pg	鏡映を含まない。すべり鏡映を含む。
cm	鏡映を含む。鏡映軸ではないすべり鏡映軸がある。

（B）180°回転を含む。90°、60°回転を含まない。

p2	鏡映、すべり鏡映を含まない。
pmm	鏡映を含む。すべり鏡映軸は必ず鏡映軸でもある。
pgg	鏡映を含まない。すべり鏡映を含む。
cmm	鏡映を含む。鏡映軸ではないすべり鏡映軸がある。すべり鏡映軸には必ずそれに平行な鏡映軸がある。
pmg	鏡映を含む。鏡映軸ではないすべり鏡映軸がある。鏡映軸ではないすべり鏡映軸にはそれに平行な鏡映軸がない。

（C）90°回転を含む。

p4	鏡映、すべり鏡映を含まない。
p4m	90°回転の中心を通る鏡映軸がある。
p4g	鏡映を含む。90°回転の中心を通る鏡映軸がない。

（D）120°回転を含む。60°回転を含まない。

p3	鏡映を含まない。
p31m	鏡映を含む。鏡映軸が通らない120°回転の中心がある。
p3m1	鏡映を含む。どの120°回転の中心にもそれを通る鏡映軸がある。

（E）60°回転を含む。

p6	鏡映を含まない。
p6m	鏡映を含む。

これらについての作例を，

17種類のウォールペーパーパターン（2）作例

に示します．

参考：

https://en.wikipedia.org/wiki/Isohedral_figure

2021年2月6日2021年3月21日

イントロダクション

ここでは，平面充填についての基本的な知識を紹介します．たくさんのWebサイトや書籍で紹介されているものですが，1箇所にまとまっている，簡単な，数式を使わないものはほとんどないようなので，まとめてみました．

参考Webサイト：

平面充填（Wikipedia日本語版）

Tessellation（Wikipedia 英語版）

List of Euclidean uniform tilings

分類のしかた

学者によってさまざまな分類方法があり，かなりの部分は重複しています．統一された見解というものはないようです．ここでは，大ざっぱに，「正多角形とそれ以外」「周期性と非周期性」という分類をしています．

正多角形に関する分類
- 大きさの同じ1種類の正多角形で構成（3種類＝ピュタゴラスの充填形）
  - 正三角形
  - 正方形
  - 正六角形
- 大きさの同じ1種類の多角形で構成
  - 任意の三角形
  - 平行四辺形
  - 平行六辺形（3組の対辺が平行で等しい六角形）
  - 五角形（15種類あり，これ以上ないことが示されている）
- 複数種類の正多角形で構成（8種類＝アルキメデスの平面充填）
  - [3, 3, 3, 3, 6]
  - [3, 3, 3, 4, 4]
  - [3, 3, 4, 3, 4]
  - [3, 4, 6, 4]
  - [3, 6, 3, 6]
  - [3, 12, 12]
  - [4, 6, 12]
  - [4, 8, 8]

正多角形と、正多角形ではない+αの図形で構成
正多角形を使わない，特殊な充填形
周期性を持つか？
- 周期性
- 非周期性

正多角形とそれを使ったバリエーション

サブグリッドともよばれる，正多角形と、そのバリエーションの代表的な24種類を紹介します．これらは，正多角形を使った平面充填のほんの一部にすぎません．

充填できる＝角同士がぴったり合う＝足して360°になる，という視点から眺めてみましょう．

作例

＝アルキメデスの充填形、[3,6,3,6]

＝アルキメデスの充填形、[3,12,12]

＝アルキメデスの充填形、[3,4,6,4]

＝アルキメデスの充填形、[4,6,12]

＝アルキメデスの充填形、[4,8,8]

2021年1月25日2021年1月26日

私はいかにしてJ. J. Jailbirdを名乗るようになったのか？

こんにちは。私の名前はJ. J. Jailbirdです。”Jailbird”は、直訳すれば「かごの鳥」という意味ですが、英語のスラングとしては、「囚人」「常習者」などの意味があります。ちなみに頭文字のJ. J.は，J. J. Johnsonというジャズ・ミュージシャンが好きだったことからきています．

私は「繰り返す者」＝「常習者」としてリピートする模様を描き続けていますし、この繰り返す模様はまるで昔のアメリカの囚人の服のような白黒のストライプです。無限に繰り返す模様の牢獄から永遠に出られない、という意味では「囚人」ともいえるでしょう。

ここでは、私がいかにしてJailbirdを名乗るようになったのかそのいきさつをお話ししてみましょう。

きっかけは、これでした。8分音符「♪」のチョロッと出た、ヒゲのような部分。ここがかわいいな。

このヒゲの部分を切り取って、

このあたりから、私は繰り返し模様の罠にはまっていたのかもしれません。気がつくと、こんなものや、

こんなものを作りだすようになっていました。

繰り返さずにいられない！　このリピートから逃れられない！

でも，世の中には壁紙，タイル，洋服の柄など，繰り返しの模様がたくさんあふれています．連続模様や平面充填などの先人たちの作例を見ては圧倒され，その理論的背景を学びつつも，「自分は何でもいいから，ただ繰り返し模様が作りたいのではなく，ある種の特徴をもった模様が作りたいのだ」，と気付くまでに，そう時間はかかりませんでした．広大な模様の海を，たった一人で渡るには何か指針が必要です．そしてそれは小さな指針でなくてはなりません．魅力的な模様はたくさんありますが，うろうろと羅針盤もなくそれらに気を取られていては，永遠にどこにもたどり着くことはできないでしょう．

そして，私が自分自身に課した，模様を作るうえでのルールは1つ．